TRIGONOMETRIA

TRIGONOMETRIA TRIGONOMETRIA

A trigonometria tudománya a földmérésből fejlődött ki. A közvetlenül nem megmérhető nagy távolságok és magasságok meghatározása elméketi ismereteket követelt.

Bevezető feladat

Szeretnénk megmérni egy vízszintes talajon álló fa magasságát.

I. módszer

Napos időben megmérhetjük a fa árnyékának hosszát, és összehasonlíthatjuk egy ismert magasságú tárgy (például egy bot) árnyékával (57. ábra).

A fa magassága és árnyékának hossza, valamint a bot magassága és árnyékának hossza hasonló derékszögű háromszögek megfelelő oldalainak hosszai. Tegyük fel, hogy a fa árnyékát 7,2 m-nek találjuk, a bot 1,5 m magas, árnyéka 67 cm. Jelöljük h-val a fa magasságát, ekkor , ahonnan a fa magassága h » 16 m.

Megjegyzés: Thalész hasonló módszerrel állapította meg az egyiptomi piramisok magasságát.

II. módszer

Borús időben az előző eljárás nem alkalmazható. Egy szögmérő segítségével ilyenkor is célhoz juthatunk. Mérjük meg a fa és a bot távolságát, valamint mérjük meg, hogy a bot felső végéből hány fokos szögben látszik a fa teteje a vízszinteshez képest (58. ábra).

A mérések elvégzése után rajzoljunk egy derékszögű háromszöget, amelynek az egyik hegyesszöge 55°. Ennek a háromszögnek megmérhetjük az oldalait, majd újra a hasonlóság segítségével számolhatunk (59. ábra).

x-re 14,5 m adódik, ehhez még hozzáadva a bot 1,5 m magasságát, a fa magasságára 16 m-t kapunk.

Észrevehetjük, hogy bármely két derékszögű háromszög hasonló, ha az egyik hegyesszögük egyenlő. Eszerint a derékszögű háromszög oldalainak aránya a hegyesszögeitől függ. Mivel nagyon gyakran kell hasonló derékszögű háromszögekkel számolni, célszerűnek látszik az oldalak arányára új elnevezéseket bevezetni.

Hegyesszögek szögfüggvényei

Az a szögű derékszögű háromszögben az a szög

szinusának (sina ) nevezzük a szöggel szemközti befogó és az átfogó hányadosát,

koszinuszának (cosa ) nevezzük a szög melletti befogó és az átfogó hányadosát,

tangensének (tga ) nevezzük a szöggel szemközti befogó és a szög melletti befogó hányadosát,

kotangensének (ctga ) nevezzük a szög melletti befogó és a szöggel szemközti befogó hányadosát. (60. ábra)

Egy hegyesszög szinuszát, koszinuszát, tangensét és kotangensét összefoglaló néven szögfüggvényeknek nevezzük.

Példák

a) Határozzuk meg a 45° szögfüggvényeinek pontos értékét!

Egy egységnyi befogójú egyenlő szárú derékszögű háromszög segítségével határozzuk meg a kívánt értékeket, az átfogót Pitagorasz tételével számítjuk ki. (61. ábra).

b) Határozzuk meg a 30° szögfüggvényeit!

Egy 30°-os hegyesszögű derékszögű háromszögből indulunk ki. E háromszög átfogója éppen kétszerese a rövidebb befogónak, hiszen ez a háromszög egy szabályos háromszög “fele”. A rövidebb befogó legyen 1 egység, az átfogó 2 egység. Pitagorasz tételével számolva a hosszabb befogó egység (62. ábra).

Vegyük észre, hogy a 30° szögfüggvényeinek kiszámításakor egyszersmind a 60° szögfüggnyeit is meghatároztuk! Hiszen a háromszög másik hegyesszöge 60°:

A 30°, 45° és a 60° úgynevezett nevezetes szögek, szögfüggvényeiket célszerű megjegyezni.

Sajnos általában nem írhatjuk fel a szögfüggvényeket a fentiekhez hasonló egyszerű alakban. A Négyjegyű függvénytáblázatok tartalmazza a szögfüggvények értékét négy tizedes pontossággal. Ma már a legtöbb számológép is alkalmas a szögfüggvények értékének meghatározására (a számológépen nincs külön nyomógomb a kotangens függvény számolására, mert egy szög kotangense a tangensének reciproka, ahogy az a definícióból közvetlenül látható).

A szögfüggvények definícióinak néhány egyszerű következményét (azonosságok) vizsgáljuk meg. Az a hegyesszög szögfüggvényeinek ismeretében meghatározhatjuk az a pótszögének szögfüggvényeit, ahogyan azt a 60° esetén láttuk:

sin(90°− a ) = cosa

cos(90°− a ) = sina

tg(90°− a ) = ctga

ctg(90°− a ) = tga

Közvetlenül adódnak a definíciókból az alábbi azonosságok is:

Pitagorasz tételének segítségével egy újabb gyakran használt azonossághoz juthatunk. A derékszögű háromszög a hegyesszögével szemközti befogója legyen a, a másik befogója b, az átfogója c. Számítsuk ki az a szinuszának és koszinuszának négyzetösszegét:

Feladatok

190. Egy torony teteje a talpától 50 m távolságból 32°37’ sög alatt látszik. Milyen magas a torony?

191. Egy egyenes útszakasz emelkedése 1 km-en 50 m. Mennyi az emelkedés szöge?

192. Egy 25 m magas épület egy 12 m magas épület tetejéről 14° emelkedési szög alatt látszik. Milyen messze van a két épület egymástól?

193. Milyen magas az a hegy, amelyre egy 2356 m hosszú egyenes út vezet, ha az út a vízszintes síkhoz 10°49’ szög alatt hajlik?

194. Egy tó felett repülőgép halad 4°8’ emelkedéssel. Az egyik part felett 1500 m magasan, a másik felett 2000 m magasan halad át. Útja a tó felett 1 perc 18 másodperc ideig tartott. Mekkora sebességgel haladt a gép?

195. 80 m hosszú lejtős út felső végén levő emlékoszlopot 3,7°-os szög alatt látunk az út elejéről. A lejtő hajlásszöge 21°18’. Milyen magas az emlékoszlop?

Megoldások 190-195

A szögfüggvények értelmezési körének kiterjesztése

A szögfüggvények értelmezési körét kiterjeszthetjük tetszőleges forgásszögekre is úgy, hogy a hegyesszögekre a már ismert eredmények adódjanak. Az általános definíciók a vektor koordinátáinak fogalmát használják. Szükségünk lesz egy bevezető definícióra: egy adott vektor irányszögei azok a forgásszögek, amelyekkel az i bázisvektort elforgatva az adott vektorral egyirányú vektort kapunk (63. ábra).

A szinusz és koszinusz szögfüggvények általános definíciói:

Egy tetszőleges a forgásszög koszinuszán az a irányszögű egységvektor első, szinuszán a második koordinátáját értjük. A 64. ábrán szemléltetjük a definíciókat.

A tangens és kotangens függvények definíciói:

Egy a forgásszög (a ¹ 90° + k180°, ahol k tetszőleges egész szám) tangensén szinuszának és koszinuszának hányadosát értjük.

Egy a forgásszög (a ¹ k180°, ahol k tetszőleges egész szám) kotangensén koszinuszának és szinuszának hányadosát értjük.

A 65. ábra segítségével szemléletes fogalmat alkothatunk egy szög tangenséről és kotangenséről.

(Az egységvektor és a koordinátatengelyekre eső merőleges vetületei által meghatározott derékszögű háromszög hasonló az origó és az (1; 0) végpontok, valamint a “tga ” hosszúságú szakasz által meghatározott derékszögű háromszöghöz: tga : 1 = sina : cosa . Hasonlóan igazolható, hogy ábrán látható ctga hosszúságú szakasz hossza valóban ctga .)

A hegyesszögek szögfüggvényeire vonatkozó azonosságok továbbra is érvényben maradnak. Néhány újabb azonosság:

sin(a ) = sin(a + k360°), ahol k Î Z

cos(a ) = cos(a + k360°), ahol k Î Z

tg(a ) = tg(a + k180°), ahol k Î Z

A szinusz- és koszinuszfüggvény 360°-onként, a tangens- és kotangensfüggvény 180°-onként periodikus.

sin(−a ) = −sin(a )

cos(−a ) = cos(a )

tg(−a ) = −tg(a )

ctg(−a ) = −ctg(a )

A 11. évfolyam anyagában újabb azonosságokkal találkozhatunk.

Feladat

196. Számítsuk ki a következő szögek szögfüggvényeinek pontos értékét: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°!

Megoldás 196

Trigonometriai függvények

A fok mellett a szögek másik legismertebb mértékegysége a radián (ívmérték). Emlékeztetőül: az egységnyi sugarú körben az a középponti szöghöz tartozó körív hossza az a ívmértékben kifejezett értéke. Az ívmérték segítségével a szögek valós számokkal jellemezhetők. Ebben az alfejezetben mindig radiánban megadott szögekkel dolgozunk. Amennyiben a szögek mértékéül valós számokat használunk, lehetőségünk nyílik trigonometriai függvények definiálására.

A szinuszfüggvény

Az R ® R, függvény a szinuszfüggvény (66. ábra).

Mielőtt felsorolnánk a szinuszfüggvény tulajdonságait, két újabb függvényelemzési szemponttal ismerkedünk meg.

Az f függvényt periodikusnak nevezzük, ha van olyan pozitív p, hogy minden x Î D_fesetén (x+p) Î D_f és f(x) = f(x+p). A legkisebb ilyen p (ha van ilyen) a függvény periódusa. (A definíció alapján van olyan periodikus függvény, aminek nincs periódusa, például az f(x) = 1 képlettel definiált függvény.)

Az f függvényt páratlannak nevezzük, ha minden xÎ D_f esetén (−x)Î D_f és f(−x)=−f(x).

Az f függvényt párosnak nevezzük, ha minden xÎ D_f esetén (−x)Î D_f és f(−x)=f(x).

A szinusz-, tangens- és kotangensfüggvények páratlanok, a koszinuszfüggvény páros. A páratlan függvények grafikonja szimmetrikus az origóra, a páros függvények grafikonja szimmetrikus az y tengelyre.

Ezek után következzék a szinuszfüggvény elemzése:

D = R, R = [−1; 1]

zérushelyek: x = kp , ahol kÎ Z

maximumhelyek: , ahol kÎ Z; a maximum értéke y = 1